Números Transcendentes (y algebraicos)

Los número reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios, por ejemplo la clasificación más conocida es:

Ahora, enfoquémonos en en otra clasificación, la de Algebraicos y Trascendentes o Trascendentales.

Un número algebraico es un numero real que es solución de algún polinomio no nulo con coeficientes racionales, por ejemplo:

• 1 es solución de P(x) = x-1
• 2 es solución de P(x) = x-2
• .
• .
• .
• n es solución de P(x) = x-n

De lo anterior se concluye que todo numero entero es algebraico.

O en el caso de un numero racional "p sobre q" (p/q):  P(x) = qx-p

Un número Trascendente es un no Algebraico, vale decir, que no es solución de algún polinomio no nulo con coeficientes racionales. En 1874 Georg Cantor (matemático alemán) demostró la existencia de estos números.  

Algunos ejemplos de números trascendentes son:  

   

El problema siete de Hilbert trataba sobre números trascendentales:¿Es a elevado a b trascendental, siendo   a distinto de 0 y 1, ademas algebraico y b irracional algebraico? Este problema fue resuelto con el teorema de Gelfond-Schneider. 

Matemática en todas partes: Biomatemática

La matemática, aunque muchos no lo acepten, está presente en todos los ámbitos de nuestra vida y se relaciona con otras áreas del saber para generar campos interdiciplinarios, como la Biomatemática.

La Biomatemática es un área interdiciplinaria que se enfoca en el modelamiento de procesos o sistemas biológicos utilizando técnicas matemáticas, ésta no tiene un campo de estudio delimitado, todo lo contrario, la ciencias son entes dinámicos y abarcan todo lo que puedan estudiar.

Pero esta área no es nada nuevo, sólo que no se le había puesto el nombre con el que se le conoce ahora. En la prehistoria para poder crear la agricultura se necesitó estudiar los ciclos vitales de ciertas especies vegetales, los "instantes temporales" en que debían cultivarse, además la matemática ayudaba a resolver problemas logísticos como contar, medir y a partir de la observación de los astros, calcular esos "instantes" para cultivar. Vemos una estrecha relación entre la biología y la matemática, pero la evolución de ambas ciencias las mantendría separadas  hasta la aparición de la fisiología (estudio de las funciones de los seres orgánicos).

La fisiología recoge grandes cúmulos de conocimiento previo y los clasifica, ordena y sistematiza, utilizando la matemática cuando resulta conveniente. 

La historia del descubrimiento de la circulación sanguínea por William Harvey en 1628 es bastante interesante. En aquellos años se creía que la sangre se creaba a partir de los alimentos y era enviada por el corazón a las distintas partes del cuerpo, luego ésta se transformaba en la sustancia constituyente de estas zonas. Pero Harvey no estaba de acuerdo con esto y su argumento fue calcular la sangre bombeada por el corazón en 1 día, midió la cantidad de sangre bombeada en un latido y la multiplico por la cantidad de latidos diarios: ¡¡400 litros se sangre!! ¿a dónde iba a ir tanta sangre? ¿cuanto habría que comer para producir esa cantidad? Conclusión: La sangre circulaba por un circuito cerrado.

Ejemplos sobre las relaciones matemáticas y biológicas sobran: La clasificación taxonómica trabaja con conjuntos, el numero "e" surge del crecimiento exponencial, el ciclo celular es una sucesión de fases, los patrones de herencia mendeliana son algebraicos, un electrocardiograma se describe con geometría analítica, el potencial de membrana se explica con ecuaciones diferenciales, el análisis dinámico de genes apagados o encendidos se procesa según el código binario, las relaciones entre animales (humanos incluidos) pueden explicarse con la teoría de juegos.

En la actualidad se han unido las ciencias informáticas a la biomatematica para realizar distintos estudios e investigaciones como:

• Autómatas celulares
• Estructura de proteínas
• Redes neuronales
• Dinámica poblacional
• Implantes funcionales

Para terminar este tema los dejo con una frase que resume la vision que tengo del mundo y la que trato de demostrar mediante este blog:

"Todo es matemática"

Premios Matemáticos

Tal y como existen los Oscar para actrices y actores, los Pulitzer para periodistas  y los Nobel para Químicos, Físicos, Fisiólogos o Médicos, Literatos, Economistas (aunque también ganado por matemáticos) y predicadores de la Paz; también existen premios para Matemáticos que se destacan por sus investigaciones o aportes a esta ciencia. En este artículo nombraremos algunos de ellos, parte de su historia y algunos de los premiados.

• Premio Abel

El Premio Abel es un premio internacional anual creado en el año 2002 por el gobierno noruego en conmemoración al bicentenario del nacimiento de Niels Abel (Matemático noruego).

Es entregado anualmente por el Rey de Noruega a un matemático destacado, elegido por la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras, ademas de una recompensa económica de 750.000 euros.

El primer premiado fue Jean-Pierre Serre en el año 2003, quien además ya había recibido la Medalla Fields a los 28 años (1954) y el premio Wolf (2000) entre otros.

• Medalla Fields

La Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemática o más conocida como Medalla Fields es, según dicen, el mayor honor al que un matemático puede aspirar.

Es una distinción que entrega cada cuatro años la Unión Matemática Internacional a entre 2 y 4 matemáticos menores de 40 años.

La persona que sentó las bases de este premio fue el matemático John Charles Fields.

El premio consiste en una medalla enchapada en oro y 10.000 euros. La medalla por un lado tiene la cabeza de Arquímides y la inscripción en latín "ir más allá de uno mismo y dominar el mundo" y por el otro una esfera inscrita en un cilindro y la frase, en latín también, "los matemáticos de todo el mundo se reunieron para dar esta medalla por escritos excelentes".

Entre los numerosos matemáticos premiados están Jesse Douglas, Michael Atiyah y Enrico Bombieri.

• Problemas del Milenio 

Si bien esto es una lista de 7 problemas matemáticos, de los cuales ya se resolvió uno. El premio por resolver si quiera uno de estos es de 1.000.000 de dólares, entregada por el Clay Mathematics Institute.

El único matemático premiado ha sido Grigori Perelmán por demostrar la Conjetura de Poincaré, sin embargo, Perelmán lo rechazó, como también rechazó la Medalla Fields.

• Premio Wolf en Matematicas

Entregado anualmente desde 1978 en Israel por la Fundación Wolf, fundada por el Doctor Ricardo Wolf. Es considerado como el más prestigioso después de la Madalla Fields, el cual se entrega a matemáticos vivos "por sus logros en interés de la humanidad y de las relaciones fraternas entre los pueblos" y consiste en un diploma y 100.000 dólares.

Algunos matemáticos a quienes se les ha entregado este premio son Samuel Eilenberg, Mijaíl Grómov y Shing-Tung Yau.

Además de estos premios existen varios más, como el Premio Fermat o la Medalla Euler, entre otros.

Google y Matemática: Doodles

El buscador más conocido y utilizado del mundo tiene una variedad de curiosidades matemáticas, una de ellas son sus doodles.

Distintos doodles de google

¿Qué es un doodle? Pues un doodle es un dibujo hecho fuera de foco, es decir mientras la atención esta enfocada en otra cosa, los dibujos conocidos como garabatos son un buen ejemplo. En el caso de google es una alteración de su logo para conmemorar fechas.

Logo sin alteración

Pero los doodles que nos importan a nosotros son los relativos a fechas matemáticas como los que presentamos a continuación:

14 de marzo de 2003: Cumpleaños de Albert Einstein
(Físico Alemán)

14 de Marzo de 2010: Día de Pi

3 de febrero de 2004: Cumpleaños de Gaston Julia 

(Matemático Francés)   

25 de agosto de 2009: Aniversario del primer telescopio de Galileo
(Astrónomo, Filósofo, Matemático y Físico Italiano)

20 de Abril de 2009: Cumpleaños de Zu Chongzhi
(Matemático y astrónomo chino)

4 de enero de 2010: Cumpleaños de Isaac Newton 

(Físico, Matemático, Teólogo, Inventor Inglés)

11 de Octubre de 2010: Cumpleaños de Cahit Arf 

(Matemático Turco)

17 de Agosto de 2011: Cumpleaños de Pierre de Fermat
(Matemático Francés)

Los problemas de Hilbert

El 8 de Agosto de 1900 en Paris, David Hilbert dio una conferencia que capturaría la imaginación de los matemáticos de siglo XX, la cual se tituló "Problemas Matemáticos".

Hilbert fue uno de los matemáticos mas prominentes de su generación, se interesó e hizo grandes aportes en Teoría de Invariantes Algebraicos, Teoría de Números, Geometría, en los mismos fundamentos de la matemática.

Su método de trabajo consistía en centrarse en un problema y tratar de simplificarlo, de hacerlo más claro. Para él, el rigor matemático era una herramienta en este proceso. A través del rigor, uno podía evitar las falsas suposiciones que pueden llevar al error y a la confusión.

El gran prestigio de Hilbert hizo que recibiera una invitación para dar una conferencia en el 2° Congreso Internacional de Matemáticas en 1900 donde presentó su trabajo llamado "Problemas Matemáticos".

En éste trabajo, Hilbert presentó 23 problemas que abarcaban diversas áreas de la matemática, Teoría de Conjuntos, Álgebra, Geometría, Fundamentos Axiomáticos y Teoría de Números.

De los 23 problemas hasta ahora 13 han sido resueltos, 2 se ha demostrado la imposibilidad de probarlos, 5 han sido parcialmente resueltos y 3 están abiertos.

Entre los problemas de Hilbert se encuentran:

• La hipótesis del continuo (Imposible de probar)
• Axiomatizar toda la Física (Parcialmente resuelto)
• La hipótesis de Riemann (abierto)
• Resolver todas las ecuaciones de 7° grado usando funciones de dos parámetros (Resuelto)

Lo interesante es que estos problemas no fueron planteados con deseos desafiantes, al contrario Hilbert los planteó como una forma de guiar los estudios matemáticos durante el siglo XX.

Frases Célebres

"Los encantos de esta ciencia sublime, la matemática, sólo son revelados a quienes tienen el valor de profundizar en ella"

                                                                           Carl Gauss            (Matemático  alemán, 1777-1855)

Tips matemáticos: Porcentaje.

En la sección de "Tips Matemáticos" la idea será ir dando formas distintas (y en lo posible rápidas y fáciles) de resolver distintos tipos de problemas, en el caso de hoy porcentajes.

1.-¿Qué es lo que usualmente haces cuando te piden sacar el 80% de 450 o el 7% de 250? ¿Aplicas la conocida regla de 3? Pues ahora puedes hacerlo de una forma mucho mas expedita:

Cuando nos pidan sacar como en nuestro ejemplo el 80% de 450, basta con multiplicar

456 x 0,80 lo que nos da 360 o el 7% de 250 es igual a 250 x 0,07 = 17,5.

Generalizando nuestro caso el X% de Y será igual a Y x 0,X (en caso que X posea un dígito le agregamos un 0 después de la coma)

2.- Nos piden calcular el 20% de 50 o el 30% de 10, en estos casos es mucho mas fácil invertir nuestros porcentajes. ¿Cómo? Pues de esta manera:

El 20% de 50 es igual al 50% de 20. Claramente el 50% es la mitad, por lo que la respuesta sería 10

En nuestro segundo caso el 30% de 10 es igual al 10% de 30 y como el 10% es la décima parte, claramente la respuesta sería 3.

Pequeñas cosas que pueden hacer tu vida más fácil al enfrentarte a problemas de este tipo.

Gauss: "El príncipe de las matemáticas"

Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania. Destacado astrónomo y físico, pero sobre todo matemático, aunque sus contribuciones abarcan un amplio espectro.

A los 3 años de edad corrigió a su padre una operación que estaba realizando relacionada con pagos de salarios a los trabajadores que tenía a su cargo. A la edad de siete años, Gauss empezó la escuela primaria y su potencial se notó casi de inmediato. Una historia bastante conocida cuenta que su maestro Buttner se sorprendió cuando Gauss sumó los números del 1 al 100 al instante, al detectar que  podía formar pares de números que sumaban 100 (100+0, 99+1, 98+2,...,49+51) lo que sumaba 5000 y le quedaba el 50, por lo que el resultado era 5050.

Portada original de Disquisitiones Arithmeticae

El matemático Martín Bertels era asistente de Buttner y desde que Gauss lo conoció se aceleraron sus progresos en matemática. Ambos estudiaban juntos y durante esos años se empezaron a gestar algunas ideas y formas de ver la matemática, que caracterizaron posteriormente a Gauss. Se dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor en muchas demostraciones de los grandes matemáticos que lo precedieron, como Newton, Euler, Lagrange y otros.

Eligió la Universidad de Gottingen para sus estudios, algunos dicen que fue por la gran biblioteca matemática que posee, pero revisando los registros de dicha biblioteca sorprende el hecho que Gauss retirara más libros de Humanidades que de Matemática. Pero este hecho no supuso, ni mucho menos, que se retirara de ésta ciencia.

La gran fascinación de Gauss era la Aritmética, lo que queda en evidencia con su frase "La Matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de la Matemática".

Una de sus más grandes obras fue "Disquisitiones Arithmeticae" (libro que pueden descargar en español desde aquí)

Una curiosidad acerca de nuestro matemático, es que no le agradaba la idea de hacer clases, quizás por esto mismo es que logró hacer grandes y numerosas contribuciones en cada área en que se involucraba. A pesar de esto fue profesor de Riemann en la Universidad de Gottingen.

Algunos descubrimientos y resultados que llevan su nombre, entre otros, son:

• El teorema hipergeométrico de Gauss.
• El algoritmo de Gauss-Newton.
• El algoritmo de Gauss-Legendre.
• La función gaussiana o más conocida como Campana de Gauss, utilizada para calcular los puntajes de la prueba de selección universitaria en Chile.

Murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.

Fractales

Como primer entrada de contenido, quise explicar parte del nombre de este blog.

Un fractal, en palabras simples, es una figura o cuerpo geométrico que se puede dividir en partes, cada una (aproximadamente), igual al todo, una propiedad llamada autosimilitud.

Por ejemplo, uno de los fractales más conocidos es el
Conjunto de Mandelbrot (del que hablaré más adelante)
en el que podemos ver como nos vamos acercando y llegamos
a una "forma" similar al todo.

Ahora, los fractales no sólo se encuentran en gráficos o en computadoras, están presentes en nuestra vida cotidiana, en las nubes y las montañas, en árboles, ríos y en lugares insospechados como los copos de nieve. En definitiva podemos encontrarlos en la naturaleza.

Pero ¿qué tienen que ver estas extrañas figuras con la Matemática? Pues constituyen una rama de la Matemática: la Geometría Fractal; descubierta por el último grande, un matemático polaco llamado Benoit Mandelbrot (1924-2010).

La Geometría Fractal es todo un misterio ya que ha sido utilizada desde mucho antes de ser descubierta por artistas, como podemos ver en la imagen más abajo, la ola mayor está formada por repeticiones de una ola más pequeña que conserva la misma forma de la ola principal.

Esta nueva área actualmente es útil en diversas áreas como la medicina, mecánica de suelos, sismología y análisis técnico.

Más adelante seguiré mostrando más implicancias matemáticas de esta nueva y no muy conocida área de la matemática.

Bienvenidos a mi blog!

Sean todos ustedes bienvenidos a mi blog.

Lo que pretendo con la creación de este blog es hacer un pequeño aporte para acercar a los lectores de éste, a una ciencia tan abstracta como la matemática (madre de las ciencias además) a través de problemas, desafíos, biografías, curiosidades, noticias de actualidad, etc. Sin dejar de lado otras áreas científicas como la Física, Química o Biología

Lógicamente la idea no es que este blog sea unidireccional, sino que los lectores también hagan sus aportes a través de los post, por lo que espero que los contenidos tratados sean de sumo interés.

Desde ya se agradece cualquier comentario o sugerencia.

Éxito a todos!