Números Exóticos (Parte II)

¿Pueden los números estar acompañados de calificativos como "felices", "ambiciosos" o "narcisistas"? Al parecer sí ya que a algunas personas se les ocurrió clasificarlos de esas formas, veamos algunas:

Números Felices: Piensen en el siguiente procedimiento: Tomen un número natural cualesquiera (1, 2,...,145,....,15632,...), sumen el cuadrado de los dígitos, tendrán un nuevo número, repitan el procedimiento, si en algún momento llegan a que la suma da 1 ¡Congrats! Han encontrado un número feliz. Veamos un ejemplo:

203 es feliz ya que 2²+3²=13, luego 1²+3²=10 y finalmente 1²=1 
(Noten que además de mostrar que 203 es un número feliz, hemos encontrado otros tres: 13, 10, 1)

El 4 no es feliz ya que entra en un ciclo: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4...

Números Ambiciosos: Son todos aquellos en los que al sumar sus divisores (excepto el mismo número) no dan como resultado un número perfecto. Por ejemplo:

25 es ambicioso porque sus divisores son 1 y 5, y al sumarlos nos entregan el número 6 que es perfecto.

Números Narcisistas: Estos son todos a los que les gusta contemplarse en las aguas de la armonía aritmética. Nada de eso, se les llama narcisistas a los números que son equivalente a la suma de sus cifras elevadas al número de cifras del número. Por ejemplo:

153=1³+5³+3³
370=3³+7³+0³

Busquen números, inventen clasificaciones propias y coméntenlas.
Con estos me despido, hasta una próxima entrada.

Números Exóticos (Parte I)

Números, los vemos a diario, al ver la hora, el calendario, tomar un bus, pagar las cuentas, etc. 

Desde tiempo inmemoriales el hombre ha tratado de clasificarlos y formas hay muchas, tal vez infinitas, en esta serie de entradas veremos formas un tanto inusuales, "exóticas" si queréis verlo así. 

Comencemos: 

Números Perfectos: La perfección no es sólo una cualidad de lo inalcanzable, de lo divino o sublime, también hay números que la poseen, estos son todos aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, excepto el mismo número, veamos algunos ejemplos

6=3+2+1

28=14+7+4+2+1

496=248+124+62+31+16+8+4+2+1

Los siguientes números perfectos son: 8.128, 33.550.336, 8.589.869.056, 137.438.681.328 y pueden seguir buscando si queréis.

Números Casi Perfectos: Estos son muy similares a los anteriores, pero esta vez la suma de los divisores da el número menos uno, como por ejemplo

16-1=1+2+4+8

32-1=1+2+4+8+16

64-1=1+2+4+8+16+32

¿Se dieron cuenta? En caso que no, 16, 32 y 64 son potencias de 2, todas las potencias de 2 son números casi perfectos.

Ya veremos en la siguiente entrada otras clasificaciones.

Frases Célebres

"¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cual será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?"

David Hilbert (Matemático Alemán)

Gödel y la existencia de Dios

Kurt Gödel (28 abril de 1906- 14 enero de 1978) fue un matemático, lógico y filósofo austriaco-estadounidense, quizás uno de los matemáticos más importantes del siglo XX.

Gödel es mundialmente conocido por sus teoremas de incompletitud (de los que hablaremos en la siguiente entrada.
Pero de lo que hablaremos ahora es del correo que distribuyó entre sus conocidos en 1970, nada más ni menos que la demostración de la existencia de Dios mediante axiomas lógico-matemáticos, aquí la tenemos:



¿No se entiende? Bueno, acá tenemos la "traducción":

• Axioma 1: (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es negativa.

• Axioma 2: (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad positiva.

• Teorema 1: Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso particular).

• Definición: Algo es semejante-a-Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades positivas.

• Axioma 3: Ser semejante-a-Dios es una propiedad positiva.

• Axioma 4: Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es necesaria.

• Definición: Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima.

• Teorema 2: Si x es semejante-a-Dios, entonces ser semejante-a-Dios es la esencia de x.

• Definición: NE(x): x existe necesariamente si tiene una propiedad esencial.

• Axioma 5: Ser NE es ser semejante-a-Dios.

• Teorema 3: Existe necesariamente alguna x tal que x es semejante-a-Dios.

¿Aún no queda claro? Pues no os preocupéis, muchos matemáticos y lógicos han tratado y fracasado en el intento de explicar completamente la prueba. Tal vez esta prueba sea matemáticamente correcta, tal vez solo haya sido parte de la enfermedad mental que padeció al final de su vida, eso se los dejo a vosotros.

Gödel y Einstein caminando en Princenton,
la universidad en la que ambos trabajaron.

Utilidades

En este post empezaré a agregar distintos blogs y páginas con ejercicios resueltos de distintas ramas matemáticas, también espero la colaboración de los lectores para que dejen los que conozcan en los comentarios:

- sergioyansen.wordpress.com
- vgonzale.mat.utfsm.cl
- www2.udec.cl/webmath
- www.monteroespinosa.com
- ima.ucv.cl
-pkroeger.mat.utfsm.cl
-amercado.mat.utfsm.cl/Docencia/
-www.vitutor.com
-www.wikimatematica.org
-Mis Apuntes UTFSM
-www.sites.google.com/site/estebanbrionesm
-apuntesusach.blogspot.com/
-sites.google.com/a/alumnos.usm.cl/sebastiantorres/ayudantia-mat022
-sites.google.com/site/alejandriaicm/material
-sites.google.com/site/controlesuchile/ma1102
Pd: Algunas páginas/blogs pueden contener ejercicios sin soluciones.

Saludos cordiales

En el diario

A propósito de la entrada Jerarquía de las operaciones publicada a mediados de abril del presente año es que hoy recordamos gracias a LUN (Las Últimas Noticias) acerca de aquel problema, ya que apareció en portada hace unos días y no, no estamos bromeando, increíblemente el problema ha repercutido tanto en las redes sociales que se la ha dado más importancia de la que merece.

Si quieren leer la nota entre Aquí

Saludos!

Maravillas de la Matemática

Bertrand Russel, filósofo, lógico,
matemático y escritor britátino

Detrás de la fría coraza que muchos ven en la Matemática hay toda una filosofía y belleza, un teorema puede ser tan hermoso como un óleo, una ecuación tan bella como una sinfonía. 

Russell decía  “La matemática posee no sólo la verdad, sino belleza  suprema; una belleza  fría y austera, como una escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin la hermosura de las pinturas o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu 
del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, puede ser encontrado tanto en matemática como en la poesía.”

Por esto, hoy les presento algunas de las que han sido llamadas "Maravillas de la Matemática".

Fractales 

Copo de Nieve de Koch

Ya hablamos de lo que es un fractal aquí (entrada que espero ampliar pronto). 

Alfombra de Sierpinski

No es una sorpresa que los fractales estén dentro de la lista, basta ver algunos ejemplos para apreciar su belleza en todo su esplendor.

Fractal en un Brocoli

Función de Weierstrass

Número Áureo

Hablamos de un numero con varias propiedades interesantes denominado por φ (phi), es aproximadamente a 1.6180339887498948482... y tiene una estrecha relación con la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada número es la suma de los dos anteriores. Y si dividimos el último número entre el penúltimo, el resultado se acerca a φ.

Rectángulo Áureo formado por cuadrados de
la sucesión de fibonacci

Pero lo que sin duda es más interesante es que este número aparece en innumerables obras de artes, sinfonías  en la naturaleza, etc...

Como una imagen vale mas que mil palabras, un video vale mas que cien imágenes  así que los invito a ver este maravilloso video:

Identidad de Euler

Muchas veces llamada la fórmula más importante de la matemática, relaciona importantes números de distintas ramas de la matemática: 

π (pi) es el número más importante de la geometría
e (número de Euler  o constante de Napier) es el número más importante del análisis matemático
i (imaginario) es el número más importante del álgebra
0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

La belleza de esta ecuación se encuentra en la simplicidad y profundidad con que relaciona elementos tan distintos y que parecían tan lejanos.

Otras maravillas son el Teorema de Pitágoras, el número Pi, el Cálculo y otros, más adelante hablaremos de ellos.

Saludos!

El todo por el todo

"La reducción al absurdo, que Euclides tanto venerara, es una de las armas más finas del matemático. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida entera..."
                                                                                                                                     Godfrey Hardy (Matemático Inglés)

¿Qué hace un matemático?

Vas al cine... momento de hacer la cuenta para los boletos y escuchas una voz coqueta que dice "Pues que la haga Adam, él es el matemático"...

En el negocio familiar no salen las cuentas... "Pregúntenle a Jorge!!! él es matemático"

Seguro han estado más de una vez en este tipo de situaciones o en la eterna explicación que un matemático no solo se desempeña en la docencia y seguro también estarás de acuerdo en que éstas se dan gracias a que la gente no sabe exactamente qué hace un matemático. Es por eso que escribo este post hoy.

¿Entonces que otras cosas puede hacer un matemático ademas de enseñar? En honor a la verdad la vocación de un matemático no es esencialmente enseñar, pero los vemos enseñando en universidades, más aun, se les exige generalmente un grado de magíster o doctorado para enseñar en ellas, eso es por que la Docencia y la Investigación en el área de la matemática están muy enlazadas, no hay docencia de excelencia sin investigación, sin la proyección y la mirada personal que el profesor investigador le pueda dar a los contenidos, tampoco hay investigación sin la difusión a través de la docencia. Pero de igual forma se puede ser un gran investigador y un pésimo docente.

Dos elementos necesarios para transmitir la matemática es el conocimiento de ella y la vocación para transmitirla, lamentablemente no todos los educadores poseen de ambas, pero los hay.

Volvamos al tema, ¿qué actividades puede realizar un matemático? Pues son muy variadas, ya comentamos algo de la Investigación, expliquemos a qué nos referimos con ella:

El trabajo de los investigadores en matemática  es enunciar y demostrar teoremas, extender o particularizar resultados ya conocidos y tratar de desarrollar nuevas teorías en la medida que se sea capa de hacerlo; hacer avanzar, en fin, el conocimiento matemático en las parcelas correspondientes. Estos resultados son publicados en trabajos de investigación y difundidos, pero solo en contadas ocasiones pasan a los medios de prensa.

Jacobi(1804-1851) a Fourier(1768-1830): El señor Fourier matemático 
opina que la finalidad de la matemática consiste en su utilidad 
pública y en la explicación de los fenómenos naturales; pero 
un filósofo como él debería saber que la finalidad única de la ciencia 
es la de rendir honor al espíritu humano.

¿Le sirven a la comunidad esas investigaciones? Acá depende de la matemática que estemos hablando: Pura o Aplicada; sin embargo al pasar el tiempo generalmente se encuentran aplicaciones para la matemática pura.


 

Hardy: "Para calificar como puro, un
asunto matemático tiene que ser
inservible, si es inservible, es no tan
solo puro, sino además, hermoso"

Los matemáticos se se han convertido en piezas muy cotizadas por organismos públicos y empresas de todo tipo, desde constructoras a bancos, pasando por firmas de software, hedge funds, ingenierías, consultoras, aseguradoras, farmacéuticas, cadenas hospitalarias, fabricantes de coches o agencias de publicidad. La lista de compañías que los demandan podría llenar fácilmente todas las líneas de este artículo. Les fichan no solo por sus habilidades a la hora de calcular, resolver problemas o crear complejas fórmulas. “Estos profesionales tienen una serie de cualidades que las empresas valoramos mucho: son dinámicos, tienen una manera de pensar y razonar muy analítica y deductiva, aprenden muy rápido y están muy enfocados en la resolución de problemas”, comenta Esther Centeno (ejecutiva de IBM) en La Información.

Las actividades que un matemático desempeña son muy variadas, claro, dependiendo de la especialización de cada uno. Pueden ser contratados para optimizar, procesos, recursos, como programadores, para definir riesgos en una aseguradora, modelar aviones, desarrollar fármacos  seleccionar puntos para una campaña de publicidad, realizar estudios geodésicos, astronómicos, genéticos, robóticos. Pueden ocupar puestos administrativos, diseñar sistemas de seguridad, modelar el precio de las acciones, del dolar, la evolución de una especie o recurso en el tiempo.

Los matemáticos no conocen el paro en algunos países de Europa, sin importar cuantos salgan de Universidades, siempre se requieren más. En EE.UU. un estudio publicado en The Wall Street Journal concluye que la profesión con más futuro en el país es la de matemático.

En conclusión un matemático, no solo usa números (en sus estudios superiores los números son un adorno), sino que trabaja con complicadas (y hermosas) fórmulas, algoritmos, herramientas matemáticas, ya sea pensando en el futuro de la humanidad o en el de la propia rama matemática.

Paradojas (Parte II)

Continuando con los ejemplos de paradojas...

Paradoja de los viajes en el tiempo


Supongamos que podemos viajar al pasado y matamos a nuestro abuelo antes que engendrara a nuestro padre, si nuestro padre no nació nosotros tampoco, pero si nosotros no nacimos no pudimos viajar en el tiempo a matar a nuestro abuelo, por lo que nuestro padre y en consecuencia nosotros si nacimos y por eso si podemos volver al pasado a matarlo...
No es difícil entender por qué es una paradoja ¿cierto?
Hay muchas teorías respecto a los viajes en el tiempo, hay quienes dicen que de ser posibles, se crearía un universo paralelo si se cambia algo en el pasado, otros que todo esta escrito tal y como debe ser y que es imposible cambiar el pasado u otra forma de expresarlo es decir que al viajar al pasado, las leyes naturales impedirían cualquier acción que causara la no realización del viaje

Ejemplos en la ciencia ficción y el anime hay para todos los gustos:
-En Dragon Ball Z, Trunks viaja desde futuro para prevenir a los personajes principales de cosas que sucederían (la aparición de los androides y la enfermedad de Goku), pero al viajar al pasado provoca cambios en esa linea temporal (provocando la existencia de dos lineas temporales distintas).
-En la película Deja Vu, el protagonista viaja al pasado a salvar una chica que en su linea temporal había muerto, pero él muere, después aparece el protagonista en la linea temporal del pasado a interrogarla.

Paradoja del mentiroso

Esta paradoja tienes múltiples formas de mostrarse:

"Esta oración es falsa"
"Un hombre afirma que esta mintiendo: ¿lo que dice es cierto o falso?"
"La oración posterior es cierta", "La oración anterior es falsa", etc...

Trabajemos con la primera y supongamos que es cierta, por lo tanto lo que dice es cierto, pero la oracion dice que es falsa, lo que contradice nuestra suposición. Entonces digamos que es falsa, por lo que lo que dice no es cierto, pero entonces seria verdadero, lo que nuevamente nos contradice. Es decir, no podemos asignarle un valor de verdad a la oración.

Gato de Schrodinger

Schordinger (Físico Austriaco) planteó un sistema formado por una caja cerrada en la cual introducimos un gato (vivo), una botella de gas venenoso y un dispositivo con una partícula radiactiva que posee una probabilidad del 50% de desintegrarse en un tiempo dado, de forma que si la partícula se desintegra el veneno se libera y el gato muere.

Al terminar el tiempo dado tenemos una probabilidad en dos que el gato este vivo o muerto. Según la descripción de la mecánica cuántica el sistema descrito correctamente es que tenemos un gato vivo y muerto a la vez, sin embargo al abrir la caja el gato estará vivo o muerto.
Ahí es donde radica la paradoja, en la mecánica clásica el gato estará vivo o muerto hasta que abramos la caja y comprobemos su estado, al contrario en la mecánica cuántica, existirá una "superposición" de estados hasta que el observador intervenga.

Paradoja de los números aburridos

Demostrar la inexistencia de números aburridos es simple, supongamos que existe números interesantes y números aburridos en el conjunto de los números naturales (un conjunto ordenado), es decir, ambos son subconjuntos de los naturales, pero todo subconjunto de los naturales debe tener un primer elemento, por lo tanto el conjunto de los números aburridos debe tener un primer elemento, y eso mismo es lo que lo hace interesante, por lo que debemos trasladarlo al conjunto de los números interesantes y así continuamente iremos trasladando el primer elemento de los aburridos a los interesantes hasta que quede vació.
La paradoja aquí es que llamar "interesante" a un numero es ambiguo y poco objetivo, no es lo mismo decir que un número es par a decir que es interesante.

Paradoja de Russel o del Barbero

Esta paradoja lo que hace es mostrar que la teoría de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-- En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.

Esta historia explica bastante bien la paradoja que también puede expresarse como:
¿El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a si mismos forma parte de si mismo?