Números increíbles

¿Sabias qué?

El número de células de la piel de un humano adulto es semejante a 110.000.000.000.
El número de cabellos en la cabeza de una persona está entre 90.000 y 150.000.
El volumen de una molécula de hemoglobina es de 321,6 nanómetros cúbicos.
Existen entre 400 y 500 especies de bacterias en el intestino grueso de mamíferos.

Problema Einstein

Se dice que Einstein formuló este problema yafirmó que solo el 2% de la población mundial podría responderlo en menos de una hora, ¿Serás parte del 2%? ¿o del 98 restante?

Condiciones iniciales:

• Tenemos cinco casas juntas, cada una de un color.
• Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente.
• Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota diferente.
• Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

Pistas:

1. El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul.
2. El dueño la casa del centro toma leche.
3. El inglés vive en la casa roja.
4. La mascota del sueco es un perro.
5. El danés bebe té.
6. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca.
7. El dueño de la casa verde toma café.
8. El que fuma PallMall cría pájaros.
9. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
10. El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos.
11. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill.
12. El que fuma BlueMaster bebe cerveza.
13. El alemán fuma Prince.
14. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

¿Quién tiene un pez como mascota?

Se recomienda hacerlo en una tabla.

Se agradece a Felipe por dar la idea de poner este entretenido problema.

Números Taxicab

En nuestra anterior entrada, comentamos una anécdota curiosa que tenia como protagonistas a Ramanujan y Hardy. A partir de esta historia, se nombró a un conjunto de números como "Números Taxicab".

Pero, ¿Qué es un Número Taxicab? Se conocen con ese nombre los números que pueden expresarse como la suma de dos cubos de más de una forma.

Así tenemos


Taxicab(2) = 1729 = 1³ + 12³ 
                              = 9³ + 10³


Taxicab(3) = 87539319 = 167³ + 436³
                                       = 228³ + 423³
                                       = 255³ + 414³


Taxicab(4) = 6963472309248 = 2421³ + 19083³  
                                                 = 5436³ + 18948³
                                                 = 10200³ + 18072³ 
                                                 = 13322³ + 16630³

Taxicab(5) = 48988659276962496 = 38787³ + 365757³                 
                                                         = 107839³ + 362753³
                                                         = 205292³ + 342952³ 
                                                         = 221424³ + 336588³
                                                         = 231518³ + 331954³


Taxicab(6) = 24153319581254312065344 = 28906206³ + 582162³ 
                                                                     = 28894803³ + 3064173³
                                                                     = 28657487³ + 8519281³  
                                                                     = 27093208³ + 16218068³ 
                                                                     = 26590452³ + 17492496³ 
                                                                     = 26224366³ + 18289922³


... y así hasta llegar al


Taxicab(12)≤ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 
= 33900611529512547910376³ + 32696492119028498124676³

= 38073544107142749077782³ + 26554012859002979271194³

= 38605041855000884540004³ + 25396279094031028611792³

= 39334962370186291117816³ + 23546015462514532868036³

= 40406173326689071107206³ + 19954364747606595397546³

= 41606042841774323117699³ + 12368620118962768690237³

= 41912636072508031936196³ + 6605593881249149024056³

= 41950587346428151112631³ + 4448684321573910266121³

= 41960331491058948071104³ + 3319755565063005505892³

= 41965847682542813143520³ + 1952714722754103222628³

= 41965889731136229476526³ + 1933097542618122241026³

= 41967142660804626363462³ + 845205202844653597674<sup>3


Como pueden ver, son números realmente grandes ¿Alguien se anima a calcular el Taxicab(13)?</sup>

Números Aburridos

A propósito de la biografía de Ramanujan escrita ayer, surge una curiosa anécdota de Godfrey Hardy con éste matemático:

"Una vez en un taxi de Londres a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió estar pensando en ello porque al entró a la habitación del hospital donde se encontraba Ramanujan tumbado en la cama y con un Hola seco, expresó su desinterés por este número. Según él, era un numero aburrido, agregando que esperaba que no fuera un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante, es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos maneras distintas"

Ciertamente Ramanujan estaba en lo correcto pues 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Sobre la extraña propiedad que aparece en esta anécdota hablaremos en la siguiente entrada, pero ahora dejaremos un conocido desafió:

"Demostrar que no existen números aburridos en el conjunto de los números naturales"

Ramanujan: Un joven genio

El 22 de Diciembre de 1887 nace el hijo mayor de un oficinista y una ama de casa, Srinivasa Aiyangar Ramanujan en Erode, India.  

Desde joven demostró sus aptitudes para la matemática, se divertía recitando los decimales de pi a sus compañeros, su aprendizaje matemático fue casi completamente autodidacta, a la edad de 12 años había aprendido trigonometría del libro Trigonometría Plana de Looney y a los 15 llegó a sus manos un libro con cerca de 6000 fórmulas matemáticas, Sinopsis de resultados elementales de matemática pura de Carr, que Ramanujan demostró una por una. 

Pero a pesar de esto, el joven no pudo entrar a la universidad, perdió sus becas y conoció el hambre y la falta de papel. Esto último lo llevó a valerse de una pizarra y tiza para escribir sus teoremas sin dar explicaciones y pos supuesto para ahorrar el mayor papel posible, esto ha provocado un gran problema a todos los matemáticos que han querido desentrañar sus cuadernos de apuntes.

A los 25 años él envió a Godfrey Hardy una carta que decía más o menos así: 

Godfrey Hardy (Matemático Inglés)

Estimado señor: Permitame presentarme como oficinista del departamento de contabilidad de la oficina del puerto de Madrás, con un salario anual de 20 libras. Tengo unos 23 años. No tengo estudios superiores, pero he hecho el bachillerato, Acabado éste, dedico mi tiempo libre a las matemáticas. No sigo el método habitual que se sigue en un curso universitario, sino que estoy abriendo mi propio camino. He hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a los que he llegado son calificados como sorprendentes por los matemáticos de mi entorno... Quería pedirle que repasara los trabajos que le incluyo. Si cree que hay algo de valor, me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos al detalle ni las fórmulas que utilizo, pero le indico el proceso que sigo. Por mi poca experiencia, le agradecería mucho cualquier consejo. Por favor, discúlpeme si le causo alguna molestia. Quedo, señor, a su entera disposición, S. Ramanujan.

Junto a la carta, adjuntaba 9 hojas con cerca de 120 teoremas y resultados a los que había llegado Ramanujan, cantidad que superaba a toda la vida de muchos grandes matemáticos. Algunas fórmulas desbordaban al propio Hardy que comento a su amigo Littlewood: "Forzoso es que sean verdaderas, porque si no lo fueran, nadie habría tenido suficiente imaginación para inventarlas". Por supuesto había uno que otro cálculo erróneo, pero casi todo era correcto.

Hardy hizo las gestiones para llevarlo a Inglaterra donde cayó en el Trinity College.

 
 Su obra es difícil de describir, por la gran cantidad de temas que abordó. Ésta se encuentra en 3 cuadernos que escribió entre 1903 y 1914, y otro más que escribió durante su último año de vida. Estos 4 cuadernos contienen cerca de 4000 obras de arte matemática, fórmulas y teoremas, de los cuales muchos no han sido completamente entendidos. (Varios apuntes originales de Ramanujan pueden verlos aquí)

Fórmula de Ramanujan para determinar los decimales de pi

Ramanujan murió de tuberculosis en su patria madre el 20 de Abril de 1920, a la edad de 32 años.

Números Transcendentes (y algebraicos)

Los número reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios, por ejemplo la clasificación más conocida es:

Ahora, enfoquémonos en en otra clasificación, la de Algebraicos y Trascendentes o Trascendentales.

Un número algebraico es un numero real que es solución de algún polinomio no nulo con coeficientes racionales, por ejemplo:

• 1 es solución de P(x) = x-1
• 2 es solución de P(x) = x-2
• .
• .
• .
• n es solución de P(x) = x-n

De lo anterior se concluye que todo numero entero es algebraico.

O en el caso de un numero racional "p sobre q" (p/q):  P(x) = qx-p

Un número Trascendente es un no Algebraico, vale decir, que no es solución de algún polinomio no nulo con coeficientes racionales. En 1874 Georg Cantor (matemático alemán) demostró la existencia de estos números.  

Algunos ejemplos de números trascendentes son:  

   

El problema siete de Hilbert trataba sobre números trascendentales:¿Es a elevado a b trascendental, siendo   a distinto de 0 y 1, ademas algebraico y b irracional algebraico? Este problema fue resuelto con el teorema de Gelfond-Schneider. 

Matemática en todas partes: Biomatemática

La matemática, aunque muchos no lo acepten, está presente en todos los ámbitos de nuestra vida y se relaciona con otras áreas del saber para generar campos interdiciplinarios, como la Biomatemática.

La Biomatemática es un área interdiciplinaria que se enfoca en el modelamiento de procesos o sistemas biológicos utilizando técnicas matemáticas, ésta no tiene un campo de estudio delimitado, todo lo contrario, la ciencias son entes dinámicos y abarcan todo lo que puedan estudiar.

Pero esta área no es nada nuevo, sólo que no se le había puesto el nombre con el que se le conoce ahora. En la prehistoria para poder crear la agricultura se necesitó estudiar los ciclos vitales de ciertas especies vegetales, los "instantes temporales" en que debían cultivarse, además la matemática ayudaba a resolver problemas logísticos como contar, medir y a partir de la observación de los astros, calcular esos "instantes" para cultivar. Vemos una estrecha relación entre la biología y la matemática, pero la evolución de ambas ciencias las mantendría separadas  hasta la aparición de la fisiología (estudio de las funciones de los seres orgánicos).

La fisiología recoge grandes cúmulos de conocimiento previo y los clasifica, ordena y sistematiza, utilizando la matemática cuando resulta conveniente. 

La historia del descubrimiento de la circulación sanguínea por William Harvey en 1628 es bastante interesante. En aquellos años se creía que la sangre se creaba a partir de los alimentos y era enviada por el corazón a las distintas partes del cuerpo, luego ésta se transformaba en la sustancia constituyente de estas zonas. Pero Harvey no estaba de acuerdo con esto y su argumento fue calcular la sangre bombeada por el corazón en 1 día, midió la cantidad de sangre bombeada en un latido y la multiplico por la cantidad de latidos diarios: ¡¡400 litros se sangre!! ¿a dónde iba a ir tanta sangre? ¿cuanto habría que comer para producir esa cantidad? Conclusión: La sangre circulaba por un circuito cerrado.

Ejemplos sobre las relaciones matemáticas y biológicas sobran: La clasificación taxonómica trabaja con conjuntos, el numero "e" surge del crecimiento exponencial, el ciclo celular es una sucesión de fases, los patrones de herencia mendeliana son algebraicos, un electrocardiograma se describe con geometría analítica, el potencial de membrana se explica con ecuaciones diferenciales, el análisis dinámico de genes apagados o encendidos se procesa según el código binario, las relaciones entre animales (humanos incluidos) pueden explicarse con la teoría de juegos.

En la actualidad se han unido las ciencias informáticas a la biomatematica para realizar distintos estudios e investigaciones como:

• Autómatas celulares
• Estructura de proteínas
• Redes neuronales
• Dinámica poblacional
• Implantes funcionales

Para terminar este tema los dejo con una frase que resume la vision que tengo del mundo y la que trato de demostrar mediante este blog:

"Todo es matemática"

Premios Matemáticos

Tal y como existen los Oscar para actrices y actores, los Pulitzer para periodistas  y los Nobel para Químicos, Físicos, Fisiólogos o Médicos, Literatos, Economistas (aunque también ganado por matemáticos) y predicadores de la Paz; también existen premios para Matemáticos que se destacan por sus investigaciones o aportes a esta ciencia. En este artículo nombraremos algunos de ellos, parte de su historia y algunos de los premiados.

• Premio Abel

El Premio Abel es un premio internacional anual creado en el año 2002 por el gobierno noruego en conmemoración al bicentenario del nacimiento de Niels Abel (Matemático noruego).

Es entregado anualmente por el Rey de Noruega a un matemático destacado, elegido por la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras, ademas de una recompensa económica de 750.000 euros.

El primer premiado fue Jean-Pierre Serre en el año 2003, quien además ya había recibido la Medalla Fields a los 28 años (1954) y el premio Wolf (2000) entre otros.

• Medalla Fields

La Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemática o más conocida como Medalla Fields es, según dicen, el mayor honor al que un matemático puede aspirar.

Es una distinción que entrega cada cuatro años la Unión Matemática Internacional a entre 2 y 4 matemáticos menores de 40 años.

La persona que sentó las bases de este premio fue el matemático John Charles Fields.

El premio consiste en una medalla enchapada en oro y 10.000 euros. La medalla por un lado tiene la cabeza de Arquímides y la inscripción en latín "ir más allá de uno mismo y dominar el mundo" y por el otro una esfera inscrita en un cilindro y la frase, en latín también, "los matemáticos de todo el mundo se reunieron para dar esta medalla por escritos excelentes".

Entre los numerosos matemáticos premiados están Jesse Douglas, Michael Atiyah y Enrico Bombieri.

• Problemas del Milenio 

Si bien esto es una lista de 7 problemas matemáticos, de los cuales ya se resolvió uno. El premio por resolver si quiera uno de estos es de 1.000.000 de dólares, entregada por el Clay Mathematics Institute.

El único matemático premiado ha sido Grigori Perelmán por demostrar la Conjetura de Poincaré, sin embargo, Perelmán lo rechazó, como también rechazó la Medalla Fields.

• Premio Wolf en Matematicas

Entregado anualmente desde 1978 en Israel por la Fundación Wolf, fundada por el Doctor Ricardo Wolf. Es considerado como el más prestigioso después de la Madalla Fields, el cual se entrega a matemáticos vivos "por sus logros en interés de la humanidad y de las relaciones fraternas entre los pueblos" y consiste en un diploma y 100.000 dólares.

Algunos matemáticos a quienes se les ha entregado este premio son Samuel Eilenberg, Mijaíl Grómov y Shing-Tung Yau.

Además de estos premios existen varios más, como el Premio Fermat o la Medalla Euler, entre otros.

Google y Matemática: Doodles

El buscador más conocido y utilizado del mundo tiene una variedad de curiosidades matemáticas, una de ellas son sus doodles.

Distintos doodles de google

¿Qué es un doodle? Pues un doodle es un dibujo hecho fuera de foco, es decir mientras la atención esta enfocada en otra cosa, los dibujos conocidos como garabatos son un buen ejemplo. En el caso de google es una alteración de su logo para conmemorar fechas.

Logo sin alteración

Pero los doodles que nos importan a nosotros son los relativos a fechas matemáticas como los que presentamos a continuación:

14 de marzo de 2003: Cumpleaños de Albert Einstein
(Físico Alemán)

14 de Marzo de 2010: Día de Pi

3 de febrero de 2004: Cumpleaños de Gaston Julia 

(Matemático Francés)   

25 de agosto de 2009: Aniversario del primer telescopio de Galileo
(Astrónomo, Filósofo, Matemático y Físico Italiano)

20 de Abril de 2009: Cumpleaños de Zu Chongzhi
(Matemático y astrónomo chino)

4 de enero de 2010: Cumpleaños de Isaac Newton 

(Físico, Matemático, Teólogo, Inventor Inglés)

11 de Octubre de 2010: Cumpleaños de Cahit Arf 

(Matemático Turco)

17 de Agosto de 2011: Cumpleaños de Pierre de Fermat
(Matemático Francés)

Los problemas de Hilbert

El 8 de Agosto de 1900 en Paris, David Hilbert dio una conferencia que capturaría la imaginación de los matemáticos de siglo XX, la cual se tituló "Problemas Matemáticos".

Hilbert fue uno de los matemáticos mas prominentes de su generación, se interesó e hizo grandes aportes en Teoría de Invariantes Algebraicos, Teoría de Números, Geometría, en los mismos fundamentos de la matemática.

Su método de trabajo consistía en centrarse en un problema y tratar de simplificarlo, de hacerlo más claro. Para él, el rigor matemático era una herramienta en este proceso. A través del rigor, uno podía evitar las falsas suposiciones que pueden llevar al error y a la confusión.

El gran prestigio de Hilbert hizo que recibiera una invitación para dar una conferencia en el 2° Congreso Internacional de Matemáticas en 1900 donde presentó su trabajo llamado "Problemas Matemáticos".

En éste trabajo, Hilbert presentó 23 problemas que abarcaban diversas áreas de la matemática, Teoría de Conjuntos, Álgebra, Geometría, Fundamentos Axiomáticos y Teoría de Números.

De los 23 problemas hasta ahora 13 han sido resueltos, 2 se ha demostrado la imposibilidad de probarlos, 5 han sido parcialmente resueltos y 3 están abiertos.

Entre los problemas de Hilbert se encuentran:

• La hipótesis del continuo (Imposible de probar)
• Axiomatizar toda la Física (Parcialmente resuelto)
• La hipótesis de Riemann (abierto)
• Resolver todas las ecuaciones de 7° grado usando funciones de dos parámetros (Resuelto)

Lo interesante es que estos problemas no fueron planteados con deseos desafiantes, al contrario Hilbert los planteó como una forma de guiar los estudios matemáticos durante el siglo XX.