Números Exóticos (Parte II)

¿Pueden los números estar acompañados de calificativos como "felices", "ambiciosos" o "narcisistas"? Al parecer sí ya que a algunas personas se les ocurrió clasificarlos de esas formas, veamos algunas:

Números Felices: Piensen en el siguiente procedimiento: Tomen un número natural cualesquiera (1, 2,...,145,....,15632,...), sumen el cuadrado de los dígitos, tendrán un nuevo número, repitan el procedimiento, si en algún momento llegan a que la suma da 1 ¡Congrats! Han encontrado un número feliz. Veamos un ejemplo:

203 es feliz ya que 2²+3²=13, luego 1²+3²=10 y finalmente 1²=1 
(Noten que además de mostrar que 203 es un número feliz, hemos encontrado otros tres: 13, 10, 1)

El 4 no es feliz ya que entra en un ciclo: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4...

Números Ambiciosos: Son todos aquellos en los que al sumar sus divisores (excepto el mismo número) no dan como resultado un número perfecto. Por ejemplo:

25 es ambicioso porque sus divisores son 1 y 5, y al sumarlos nos entregan el número 6 que es perfecto.

Números Narcisistas: Estos son todos a los que les gusta contemplarse en las aguas de la armonía aritmética. Nada de eso, se les llama narcisistas a los números que son equivalente a la suma de sus cifras elevadas al número de cifras del número. Por ejemplo:

153=1³+5³+3³
370=3³+7³+0³

Busquen números, inventen clasificaciones propias y coméntenlas.
Con estos me despido, hasta una próxima entrada.

Números Exóticos (Parte I)

Números, los vemos a diario, al ver la hora, el calendario, tomar un bus, pagar las cuentas, etc. 

Desde tiempo inmemoriales el hombre ha tratado de clasificarlos y formas hay muchas, tal vez infinitas, en esta serie de entradas veremos formas un tanto inusuales, "exóticas" si queréis verlo así. 

Comencemos: 

Números Perfectos: La perfección no es sólo una cualidad de lo inalcanzable, de lo divino o sublime, también hay números que la poseen, estos son todos aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, excepto el mismo número, veamos algunos ejemplos

6=3+2+1

28=14+7+4+2+1

496=248+124+62+31+16+8+4+2+1

Los siguientes números perfectos son: 8.128, 33.550.336, 8.589.869.056, 137.438.681.328 y pueden seguir buscando si queréis.

Números Casi Perfectos: Estos son muy similares a los anteriores, pero esta vez la suma de los divisores da el número menos uno, como por ejemplo

16-1=1+2+4+8

32-1=1+2+4+8+16

64-1=1+2+4+8+16+32

¿Se dieron cuenta? En caso que no, 16, 32 y 64 son potencias de 2, todas las potencias de 2 son números casi perfectos.

Ya veremos en la siguiente entrada otras clasificaciones.

Frases Célebres

"¿Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cual será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?"

David Hilbert (Matemático Alemán)

Gödel y la existencia de Dios

Kurt Gödel (28 abril de 1906- 14 enero de 1978) fue un matemático, lógico y filósofo austriaco-estadounidense, quizás uno de los matemáticos más importantes del siglo XX.

Gödel es mundialmente conocido por sus teoremas de incompletitud (de los que hablaremos en la siguiente entrada.
Pero de lo que hablaremos ahora es del correo que distribuyó entre sus conocidos en 1970, nada más ni menos que la demostración de la existencia de Dios mediante axiomas lógico-matemáticos, aquí la tenemos:



¿No se entiende? Bueno, acá tenemos la "traducción":

• Axioma 1: (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es negativa.

• Axioma 2: (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad positiva.

• Teorema 1: Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso particular).

• Definición: Algo es semejante-a-Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades positivas.

• Axioma 3: Ser semejante-a-Dios es una propiedad positiva.

• Axioma 4: Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es necesaria.

• Definición: Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima.

• Teorema 2: Si x es semejante-a-Dios, entonces ser semejante-a-Dios es la esencia de x.

• Definición: NE(x): x existe necesariamente si tiene una propiedad esencial.

• Axioma 5: Ser NE es ser semejante-a-Dios.

• Teorema 3: Existe necesariamente alguna x tal que x es semejante-a-Dios.

¿Aún no queda claro? Pues no os preocupéis, muchos matemáticos y lógicos han tratado y fracasado en el intento de explicar completamente la prueba. Tal vez esta prueba sea matemáticamente correcta, tal vez solo haya sido parte de la enfermedad mental que padeció al final de su vida, eso se los dejo a vosotros.

Gödel y Einstein caminando en Princenton,
la universidad en la que ambos trabajaron.

Utilidades

En este post empezaré a agregar distintos blogs y páginas con ejercicios resueltos de distintas ramas matemáticas, también espero la colaboración de los lectores para que dejen los que conozcan en los comentarios:

- sergioyansen.wordpress.com
- vgonzale.mat.utfsm.cl
- www2.udec.cl/webmath
- www.monteroespinosa.com
- ima.ucv.cl
-pkroeger.mat.utfsm.cl
-amercado.mat.utfsm.cl/Docencia/
-www.vitutor.com
-www.wikimatematica.org
-Mis Apuntes UTFSM
-www.sites.google.com/site/estebanbrionesm
-apuntesusach.blogspot.com/
-sites.google.com/a/alumnos.usm.cl/sebastiantorres/ayudantia-mat022
-sites.google.com/site/alejandriaicm/material
-sites.google.com/site/controlesuchile/ma1102
Pd: Algunas páginas/blogs pueden contener ejercicios sin soluciones.

Saludos cordiales

En el diario

A propósito de la entrada Jerarquía de las operaciones publicada a mediados de abril del presente año es que hoy recordamos gracias a LUN (Las Últimas Noticias) acerca de aquel problema, ya que apareció en portada hace unos días y no, no estamos bromeando, increíblemente el problema ha repercutido tanto en las redes sociales que se la ha dado más importancia de la que merece.

Si quieren leer la nota entre Aquí

Saludos!

Maravillas de la Matemática

Bertrand Russel, filósofo, lógico,
matemático y escritor britátino

Detrás de la fría coraza que muchos ven en la Matemática hay toda una filosofía y belleza, un teorema puede ser tan hermoso como un óleo, una ecuación tan bella como una sinfonía. 

Russell decía  “La matemática posee no sólo la verdad, sino belleza  suprema; una belleza  fría y austera, como una escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin la hermosura de las pinturas o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu 
del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, puede ser encontrado tanto en matemática como en la poesía.”

Por esto, hoy les presento algunas de las que han sido llamadas "Maravillas de la Matemática".

Fractales 

Copo de Nieve de Koch

Ya hablamos de lo que es un fractal aquí (entrada que espero ampliar pronto). 

Alfombra de Sierpinski

No es una sorpresa que los fractales estén dentro de la lista, basta ver algunos ejemplos para apreciar su belleza en todo su esplendor.

Fractal en un Brocoli

Función de Weierstrass

Número Áureo

Hablamos de un numero con varias propiedades interesantes denominado por φ (phi), es aproximadamente a 1.6180339887498948482... y tiene una estrecha relación con la sucesión de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada número es la suma de los dos anteriores. Y si dividimos el último número entre el penúltimo, el resultado se acerca a φ.

Rectángulo Áureo formado por cuadrados de
la sucesión de fibonacci

Pero lo que sin duda es más interesante es que este número aparece en innumerables obras de artes, sinfonías  en la naturaleza, etc...

Como una imagen vale mas que mil palabras, un video vale mas que cien imágenes  así que los invito a ver este maravilloso video:

Identidad de Euler

Muchas veces llamada la fórmula más importante de la matemática, relaciona importantes números de distintas ramas de la matemática: 

π (pi) es el número más importante de la geometría
e (número de Euler  o constante de Napier) es el número más importante del análisis matemático
i (imaginario) es el número más importante del álgebra
0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

La belleza de esta ecuación se encuentra en la simplicidad y profundidad con que relaciona elementos tan distintos y que parecían tan lejanos.

Otras maravillas son el Teorema de Pitágoras, el número Pi, el Cálculo y otros, más adelante hablaremos de ellos.

Saludos!

El todo por el todo

"La reducción al absurdo, que Euclides tanto venerara, es una de las armas más finas del matemático. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida entera..."
                                                                                                                                     Godfrey Hardy (Matemático Inglés)

¿Qué hace un matemático?

Vas al cine... momento de hacer la cuenta para los boletos y escuchas una voz coqueta que dice "Pues que la haga Adam, él es el matemático"...

En el negocio familiar no salen las cuentas... "Pregúntenle a Jorge!!! él es matemático"

Seguro han estado más de una vez en este tipo de situaciones o en la eterna explicación que un matemático no solo se desempeña en la docencia y seguro también estarás de acuerdo en que éstas se dan gracias a que la gente no sabe exactamente qué hace un matemático. Es por eso que escribo este post hoy.

¿Entonces que otras cosas puede hacer un matemático ademas de enseñar? En honor a la verdad la vocación de un matemático no es esencialmente enseñar, pero los vemos enseñando en universidades, más aun, se les exige generalmente un grado de magíster o doctorado para enseñar en ellas, eso es por que la Docencia y la Investigación en el área de la matemática están muy enlazadas, no hay docencia de excelencia sin investigación, sin la proyección y la mirada personal que el profesor investigador le pueda dar a los contenidos, tampoco hay investigación sin la difusión a través de la docencia. Pero de igual forma se puede ser un gran investigador y un pésimo docente.

Dos elementos necesarios para transmitir la matemática es el conocimiento de ella y la vocación para transmitirla, lamentablemente no todos los educadores poseen de ambas, pero los hay.

Volvamos al tema, ¿qué actividades puede realizar un matemático? Pues son muy variadas, ya comentamos algo de la Investigación, expliquemos a qué nos referimos con ella:

El trabajo de los investigadores en matemática  es enunciar y demostrar teoremas, extender o particularizar resultados ya conocidos y tratar de desarrollar nuevas teorías en la medida que se sea capa de hacerlo; hacer avanzar, en fin, el conocimiento matemático en las parcelas correspondientes. Estos resultados son publicados en trabajos de investigación y difundidos, pero solo en contadas ocasiones pasan a los medios de prensa.

Jacobi(1804-1851) a Fourier(1768-1830): El señor Fourier matemático 
opina que la finalidad de la matemática consiste en su utilidad 
pública y en la explicación de los fenómenos naturales; pero 
un filósofo como él debería saber que la finalidad única de la ciencia 
es la de rendir honor al espíritu humano.

¿Le sirven a la comunidad esas investigaciones? Acá depende de la matemática que estemos hablando: Pura o Aplicada; sin embargo al pasar el tiempo generalmente se encuentran aplicaciones para la matemática pura.


 

Hardy: "Para calificar como puro, un
asunto matemático tiene que ser
inservible, si es inservible, es no tan
solo puro, sino además, hermoso"

Los matemáticos se se han convertido en piezas muy cotizadas por organismos públicos y empresas de todo tipo, desde constructoras a bancos, pasando por firmas de software, hedge funds, ingenierías, consultoras, aseguradoras, farmacéuticas, cadenas hospitalarias, fabricantes de coches o agencias de publicidad. La lista de compañías que los demandan podría llenar fácilmente todas las líneas de este artículo. Les fichan no solo por sus habilidades a la hora de calcular, resolver problemas o crear complejas fórmulas. “Estos profesionales tienen una serie de cualidades que las empresas valoramos mucho: son dinámicos, tienen una manera de pensar y razonar muy analítica y deductiva, aprenden muy rápido y están muy enfocados en la resolución de problemas”, comenta Esther Centeno (ejecutiva de IBM) en La Información.

Las actividades que un matemático desempeña son muy variadas, claro, dependiendo de la especialización de cada uno. Pueden ser contratados para optimizar, procesos, recursos, como programadores, para definir riesgos en una aseguradora, modelar aviones, desarrollar fármacos  seleccionar puntos para una campaña de publicidad, realizar estudios geodésicos, astronómicos, genéticos, robóticos. Pueden ocupar puestos administrativos, diseñar sistemas de seguridad, modelar el precio de las acciones, del dolar, la evolución de una especie o recurso en el tiempo.

Los matemáticos no conocen el paro en algunos países de Europa, sin importar cuantos salgan de Universidades, siempre se requieren más. En EE.UU. un estudio publicado en The Wall Street Journal concluye que la profesión con más futuro en el país es la de matemático.

En conclusión un matemático, no solo usa números (en sus estudios superiores los números son un adorno), sino que trabaja con complicadas (y hermosas) fórmulas, algoritmos, herramientas matemáticas, ya sea pensando en el futuro de la humanidad o en el de la propia rama matemática.

Paradojas (Parte II)

Continuando con los ejemplos de paradojas...

Paradoja de los viajes en el tiempo


Supongamos que podemos viajar al pasado y matamos a nuestro abuelo antes que engendrara a nuestro padre, si nuestro padre no nació nosotros tampoco, pero si nosotros no nacimos no pudimos viajar en el tiempo a matar a nuestro abuelo, por lo que nuestro padre y en consecuencia nosotros si nacimos y por eso si podemos volver al pasado a matarlo...
No es difícil entender por qué es una paradoja ¿cierto?
Hay muchas teorías respecto a los viajes en el tiempo, hay quienes dicen que de ser posibles, se crearía un universo paralelo si se cambia algo en el pasado, otros que todo esta escrito tal y como debe ser y que es imposible cambiar el pasado u otra forma de expresarlo es decir que al viajar al pasado, las leyes naturales impedirían cualquier acción que causara la no realización del viaje

Ejemplos en la ciencia ficción y el anime hay para todos los gustos:
-En Dragon Ball Z, Trunks viaja desde futuro para prevenir a los personajes principales de cosas que sucederían (la aparición de los androides y la enfermedad de Goku), pero al viajar al pasado provoca cambios en esa linea temporal (provocando la existencia de dos lineas temporales distintas).
-En la película Deja Vu, el protagonista viaja al pasado a salvar una chica que en su linea temporal había muerto, pero él muere, después aparece el protagonista en la linea temporal del pasado a interrogarla.

Paradoja del mentiroso

Esta paradoja tienes múltiples formas de mostrarse:

"Esta oración es falsa"
"Un hombre afirma que esta mintiendo: ¿lo que dice es cierto o falso?"
"La oración posterior es cierta", "La oración anterior es falsa", etc...

Trabajemos con la primera y supongamos que es cierta, por lo tanto lo que dice es cierto, pero la oracion dice que es falsa, lo que contradice nuestra suposición. Entonces digamos que es falsa, por lo que lo que dice no es cierto, pero entonces seria verdadero, lo que nuevamente nos contradice. Es decir, no podemos asignarle un valor de verdad a la oración.

Gato de Schrodinger

Schordinger (Físico Austriaco) planteó un sistema formado por una caja cerrada en la cual introducimos un gato (vivo), una botella de gas venenoso y un dispositivo con una partícula radiactiva que posee una probabilidad del 50% de desintegrarse en un tiempo dado, de forma que si la partícula se desintegra el veneno se libera y el gato muere.

Al terminar el tiempo dado tenemos una probabilidad en dos que el gato este vivo o muerto. Según la descripción de la mecánica cuántica el sistema descrito correctamente es que tenemos un gato vivo y muerto a la vez, sin embargo al abrir la caja el gato estará vivo o muerto.
Ahí es donde radica la paradoja, en la mecánica clásica el gato estará vivo o muerto hasta que abramos la caja y comprobemos su estado, al contrario en la mecánica cuántica, existirá una "superposición" de estados hasta que el observador intervenga.

Paradoja de los números aburridos

Demostrar la inexistencia de números aburridos es simple, supongamos que existe números interesantes y números aburridos en el conjunto de los números naturales (un conjunto ordenado), es decir, ambos son subconjuntos de los naturales, pero todo subconjunto de los naturales debe tener un primer elemento, por lo tanto el conjunto de los números aburridos debe tener un primer elemento, y eso mismo es lo que lo hace interesante, por lo que debemos trasladarlo al conjunto de los números interesantes y así continuamente iremos trasladando el primer elemento de los aburridos a los interesantes hasta que quede vació.
La paradoja aquí es que llamar "interesante" a un numero es ambiguo y poco objetivo, no es lo mismo decir que un número es par a decir que es interesante.

Paradoja de Russel o del Barbero

Esta paradoja lo que hace es mostrar que la teoría de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-- En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.

Esta historia explica bastante bien la paradoja que también puede expresarse como:
¿El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a si mismos forma parte de si mismo?

Paradojas (Parte I)

Una paradoja es (según la RAE) "una idea extraña, opuesta a lo que se considera verdadero o a la opinión general", podríamos decir que es una incoherencia lógica o contradicción.
Existen paradojas tanto simples como complejas, incluso algunas que en primera instancia parecen ridículas u otras que más parecen críticas.

Algunos ejemplos:

1=2 


Sea
a=b   /Multiplicando por a
a^2 = ab   /restando b^2
a^2 - b^2 = ab - b^2
(a-b)(a+b)=b(a-b)  /Simplificando (a-b)
a+b=b   /como a=b
b+b=b
2b=b   /Simplificando b
2=1

Esta contradicción nace porque simplificamos por (a-b) que es igual a 0, es decir, dividimos por 0 algo que no es posible hacer en aritmética, pero que a ojos de un no entendido puede parecer algo sorprendente.

¿Qué fue primero el huevo o la gallina?

Esta conocida paradoja, que se convierte en un circulo vicioso en que la gallina nace de un huevo y el huevo debe provenir de una gallina, tiene varias interpretaciones aplicables a la vida real:
-El miedo a un colapso económico hace que la gente gaste menos, lo que reduce la demanda y aumenta la oferta, lo que causa un colapso económico.
-Más empleos produce más consumo, lo que requiere más producción y por lo tanto más empleos.

Paradoja de la omnipotencia


Si Dios puede hacer absolutamente todo, ¿Puede crear una piedra que ni él mismo pueda mover?.
Si puede crearla, la piedra sería un limite para sus poderes, si no puede entonces no puede hacer absolutamente todo.
Esta paradoja no es considerada como tal para los teólogos y creyentes de un único Dios ya que, según ellos, él existe en una realidad más allá de los límites físicos.

Paradoja de la Fuerza Imparable y El Objeto Inamovible


¿Qué sucedería si ambos chocaran? Para responder a esta pregunta podemos recurrir a la lógica y a la semántica:
-Según la lógica, la existencia de la Fuerza o el Objeto provoca la inexistencia del otro.
-Según la semántica, la existencia de la Fuerza o el Objeto hace que sea un sinsentido hablar del otro.

Para esta paradoja existen muchas referencias en la cultura popular:

-Dos villanos de X-Men llamados Juggernaut y Blob son descritos como "fuerza imparable" y "el inamovible"   respectivamente.

Juggernaut y Blob

-En el anime Full Metal Alchemist existen dos técnicas llamadas "el Escudo Supremo" y "la Lanza Suprema".
-En otro anime, Naruto, también existen dos técnicas similares a las anteriores llamadas "el Escudo más Fuerte" y "la Espada Definitiva".





Paradoja del Valor
Nada es más útil que el agua, pero ésta no comprará nada; nada de valor puede ser intercambiado por ella. Un diamante, por el contrario, tiene escaso valor de uso; pero una gran cantidad de bienes pueden ser frecuentemente intercambiados por este.
Esta paradoja parece ser una crítica, que se puede llevar a tiempos modernos con la siguiente frase de Lucano Divina:

"Los humanos tienen sus prioridades muy claras. Este año a nivel mundial, gastarán poco más de $165 billones de dólares en productos, libros y centros para rebajar de peso, mientras nunca se les pasó por la cabeza dar los $30 billones de dólares anuales que hoy se necesitan para erradicar los que mueren de hambre..."

Y así podemos seguir nombrado múltiples paradojas, en un segundo post acerca del tema, daré más ejemplos, algunos bastante interesantes.

Frases Célebres

"Creo que el conocimiento científico tiene propiedades fractales: que por mucho que aprendamos, lo que queda, por pequeño que parezca, es tan infinitamente complejo como el todo por el que empezamos. Ese, creo yo, es el secreto del universo."

  Isaac Asimov (Escritor y Bioquímico ruso)

¿Qué tan insignificantes somos a escala universal?

Hace poco me volví a topar con un video que hace un tiempo deseaba subir al blog, en éste se muestran varios  planetas y estrellas (en distintas etapas de su vida) a modo de referencia comparándolas con el planeta Tierra, el video está en inglés pero debería ser comprensible para alguien con nociones básicas del idioma:

Espero que lo hayan disfrutado y que reflexionen acerca de la pregunta que da nombre a este tema. Saludos!

Pd: Pido disculpas por no poder actualizar el blog más seguido, pero como un buen amigo dice, la matemática (refiriéndose a la carrera de ingeniería civil matemática) es una persona muy celosa, es decir, quiere que todo tiempo disponible lo dediques a ella, ja!

Feliz Cumpleaños a un grande!

Hoy está de aniversario uno de los matemáticos más grandes (y quizás el más grande) de todos los tiempos el gran Johann Carl Friedrich Gauss.

En el siguiente link pueden leer su biografía: Link!

Y aprovechando la oportunidad recomiendo leer Disquisitiones Arithmeticae (el libro de Gauss), el cual pueden descargar en el mismo link.


Saludos!

Jerarquía de las operaciones

    Imágenes o preguntas como la de la foto aparecen a menudo en redes sociales como facebook, provocando el caos entre la gente que sabe y no sabe realizar una operación aritmética BÁSICA, es por esto y por el echo que hay más gente que contesta mal a gente que contesta bien que creo este post. 

Comencemos con un ejemplo: si tenemos 2+3*5, algunas personas podría operar primero con la suma llegando al (erróneo) resultado 25 y otras partirían con la multiplicación llegando al resultado 17, el cual es correcto. De aquí vemos que depende que operaciones realicemos primero llegamos a distintos resultados, es por esto que se hace necesario llegar a un consenso a través del cual todos lleguemos a los mismos resultados.

PAPOMUDAS
PA: Paréntesis (desde adentro hacia afuera)
PO: Potencias
MUD: Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
AS: Adición o suma y Sustracción o resta (de izquierda a derecha)

Para poder salvar nuestras vidas de Saw (y de paso realizar el ejemplo de la imagen) seguiremos las reglas anteriores.

6:2(1+2)  Primero realizamos el paréntesis.
6:2(3)      Si no hay signo entre un numero (o letra) y un paréntesis, se ASUME que hay una multiplicación.
6:2*3      Operamos de izquierda a derecha.
3*3  
9

Inspirations

Aquí les dejo un maravilloso video que encontré en Youtube, en él aparecen varios problemas o anécdotas históricas de la Matemática.

Veamos cuántas podemos distinguir. Entre las que he visto están el Último teorema de Fermat, una foto de fractales y Los 7 puentes de Konigsberg.

Números increíbles

¿Sabias qué?

El número de células de la piel de un humano adulto es semejante a 110.000.000.000.
El número de cabellos en la cabeza de una persona está entre 90.000 y 150.000.
El volumen de una molécula de hemoglobina es de 321,6 nanómetros cúbicos.
Existen entre 400 y 500 especies de bacterias en el intestino grueso de mamíferos.

Problema Einstein

Se dice que Einstein formuló este problema yafirmó que solo el 2% de la población mundial podría responderlo en menos de una hora, ¿Serás parte del 2%? ¿o del 98 restante?

Condiciones iniciales:

• Tenemos cinco casas juntas, cada una de un color.
• Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente.
• Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota diferente.
• Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

Pistas:

1. El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul.
2. El dueño la casa del centro toma leche.
3. El inglés vive en la casa roja.
4. La mascota del sueco es un perro.
5. El danés bebe té.
6. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca.
7. El dueño de la casa verde toma café.
8. El que fuma PallMall cría pájaros.
9. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
10. El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos.
11. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill.
12. El que fuma BlueMaster bebe cerveza.
13. El alemán fuma Prince.
14. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

¿Quién tiene un pez como mascota?

Se recomienda hacerlo en una tabla.

Se agradece a Felipe por dar la idea de poner este entretenido problema.

Números Taxicab

En nuestra anterior entrada, comentamos una anécdota curiosa que tenia como protagonistas a Ramanujan y Hardy. A partir de esta historia, se nombró a un conjunto de números como "Números Taxicab".

Pero, ¿Qué es un Número Taxicab? Se conocen con ese nombre los números que pueden expresarse como la suma de dos cubos de más de una forma.

Así tenemos


Taxicab(2) = 1729 = 1³ + 12³ 
                              = 9³ + 10³


Taxicab(3) = 87539319 = 167³ + 436³
                                       = 228³ + 423³
                                       = 255³ + 414³


Taxicab(4) = 6963472309248 = 2421³ + 19083³  
                                                 = 5436³ + 18948³
                                                 = 10200³ + 18072³ 
                                                 = 13322³ + 16630³

Taxicab(5) = 48988659276962496 = 38787³ + 365757³                 
                                                         = 107839³ + 362753³
                                                         = 205292³ + 342952³ 
                                                         = 221424³ + 336588³
                                                         = 231518³ + 331954³


Taxicab(6) = 24153319581254312065344 = 28906206³ + 582162³ 
                                                                     = 28894803³ + 3064173³
                                                                     = 28657487³ + 8519281³  
                                                                     = 27093208³ + 16218068³ 
                                                                     = 26590452³ + 17492496³ 
                                                                     = 26224366³ + 18289922³


... y así hasta llegar al


Taxicab(12)≤ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 
= 33900611529512547910376³ + 32696492119028498124676³

= 38073544107142749077782³ + 26554012859002979271194³

= 38605041855000884540004³ + 25396279094031028611792³

= 39334962370186291117816³ + 23546015462514532868036³

= 40406173326689071107206³ + 19954364747606595397546³

= 41606042841774323117699³ + 12368620118962768690237³

= 41912636072508031936196³ + 6605593881249149024056³

= 41950587346428151112631³ + 4448684321573910266121³

= 41960331491058948071104³ + 3319755565063005505892³

= 41965847682542813143520³ + 1952714722754103222628³

= 41965889731136229476526³ + 1933097542618122241026³

= 41967142660804626363462³ + 845205202844653597674<sup>3


Como pueden ver, son números realmente grandes ¿Alguien se anima a calcular el Taxicab(13)?</sup>

Números Aburridos

A propósito de la biografía de Ramanujan escrita ayer, surge una curiosa anécdota de Godfrey Hardy con éste matemático:

"Una vez en un taxi de Londres a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió estar pensando en ello porque al entró a la habitación del hospital donde se encontraba Ramanujan tumbado en la cama y con un Hola seco, expresó su desinterés por este número. Según él, era un numero aburrido, agregando que esperaba que no fuera un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante, es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos maneras distintas"

Ciertamente Ramanujan estaba en lo correcto pues 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Sobre la extraña propiedad que aparece en esta anécdota hablaremos en la siguiente entrada, pero ahora dejaremos un conocido desafió:

"Demostrar que no existen números aburridos en el conjunto de los números naturales"